逆向运动学（IK）是根据末端执行器目标位置反推关节角度的过程，无唯一解析解；2D 双连杆可用几何法求解，需判断可达性并用余弦定理与 atan2 计算两关节角；3D 多关节常用 CCD 迭代法，逐关节旋转优化至收敛。
什么是逆向运动学（IK）？
逆向运动学是给定末端执行器（比如机械臂末端或角色的手）的目标位置，反推各关节角度的过程。和正向运动学（已知关节角求末端位置）相反，IK 没有唯一解析解，尤其对 3 自由度以上链式结构。但对简单场景（如 2D 双连杆、3D 三连杆），可以用几何法或数值法快速求解。
2D 双连杆 IK：几何法实现
最基础也最实用的案例：平面内两个旋转关节组成的机械臂，目标是让末端到达指定 (x, y) 点。假设两节长度为 L1 和 L2，基座在原点，关节 1 绕 z 轴旋转，关节 2 同理。
关键步骤：
- 先检查是否可达：若 sqrt(x*x + y*y) > L1 + L2，无解；若小于 abs(L1 – L2)，也无解（目标太近）
- 用余弦定理算第二关节角：theta2 = acos((x*x + y*y – L1*L1 – L2*L2) / (2*L1*L2))，注意取正负两种解（肘向上 / 向下）
- 再算第一关节角：theta1 = atan2(y, x) – atan2(L2*sin(theta2), L1 + L2*cos(theta2))
代码片段（C++，返回角度对）：
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#include #include std::pair solve2DIK(double x, double y, double L1, double L2) {double d_sq = xx + yy; double d = std::sqrt(d_sq); if (d> L1 + L2 || d double cos_theta2 = (d_sq - L1*L1 - L2*L2) / (2*L1*L2); cos_theta2 = std::clamp(cos_theta2, -1.0, 1.0); // 防浮点误差 double theta2 = std::acos(cos_theta2); // 默认肘向下解 double theta1 = std::atan2(y, x) - std::atan2(L2*std::sin(theta2), L1 + L2*std::cos(theta2)); return {theta1, theta2};
}
3D 单轴旋转链：Cyclic Coordinate Descent（CCD）
当关节多于 2 个、或需在 3D 空间中工作时，几何法变复杂。CCD 是一种轻量、稳定、易实现的迭代数值法：从末端关节开始，逐个调整每个关节，使末端更接近目标，直到误差足够小或达到最大迭代次数。
核心思想：每次只优化一个关节，保持其余部分不变，用“局部最优”逼近全局目标。
- 对每个关节 i（从末端倒数第二个开始到基座），构造从 i 到末端的向量 v_current，以及从 i 到目标的向量 v_target
- 计算旋转轴（v_current × v_target 的归一化结果）和旋转角（用点积求夹角）
- 绕该轴旋转关节 i 及其子链（可用四元数或旋转矩阵）
- 重复直到末端距目标距离
优点是无需雅可比矩阵，不涉及求导或矩阵求逆，适合嵌入式或实时动画系统。
实用建议与注意事项
写 IK 解算器不是一劳永逸的事，要注意几个现实问题：
- 关节限位必须显式处理：每次更新角度后，要 clamped 到 [min_angle, max_angle]，否则机械臂会“拧断”
- 避免奇异点：当手臂完全伸直或折叠成一线时，雅可比矩阵秩亏，CCD 可能震荡。可在迭代中加入阻尼（如只走步长的 80%）或检测共线性后微扰
- 优先使用现有库过渡：初期验证可用 Eigen 做向量 / 四元数运算，工业级项目可考虑 MoveIt!（ROS）或 OpenRAVE，但理解底层逻辑仍靠自己手写
- 可视化调试很重要：用 OpenGL 或 ImGui 实时画出关节位置、目标点、误差向量，比看数字快十倍
基本上就这些。从 2D 几何解出发，再到 3D CCD 迭代，你已经掌握了机器人和动画中最常用、最可控的 IK 实现路径。
